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【場合の数】基礎編②

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公式

改めて二つの公式を載せます。

順列

異なるn個のものからr個選び、並べる これを【 順列 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・(n-r+1)

組合せ

異なるn個のものからr個選ぶ これを【 組合せ 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nCr=nPr/r!

組合せ

場合の数における最重要項目です。

基礎例題⑧

P、Q、R、Sの4人の中から、そうじ当番を2人選びます。選び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

6通り

順列との違いがわかりますか?
「2人を選ぶ」と、「2人を選んで並べる」の違いです。
この問題で聞かれているのは、「2人を選ぶ」です。
選ぶだけで並べ方を考えないようなものを「組合せ」といいます。

「2人を選ぶ」と、「2人を選んで並べる」の2つですが、より簡単に求められるのは「2人を選んで並べる」順列の方です。
4×3=12通りですね。
この12通りの中には、

  • PQ
  • QP

という2通りが含まれていますが、組合せにおいてはこの2通りは同じものとみなします。
2人を選ぶだけで、並び方は関係がないからです。

同じものを2回数えてしまっているので、
12÷2=6
6通り が答えです。

順序を区別したものである「順列」を、重複して数えてしまっている回数で割ると「組合せ」が求まります。
順列 ÷ 重複 = 組合せ ・・・これが組合せの公式の意味です。

※組合せを求める状況で、条件付き順列を考慮することは一切ないので安心してください。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと

場合の数基礎 基礎例題8 4C2=4×3/2×1=6通りとなります。

基礎例題⑨

A、B、C、D、Eの5人の中からそうじ当番を3人選ぶ選び方は全部で何通りありますか。

解答と解説

解答と解説

10通り

「3人を選ぶ」と、「3人を選んで並べる」 の違いはもう大丈夫でしょうか。
より簡単に求められる方が、「3つを選んで並べる」ですね(いわゆる順列)。
5×4×3=60通りです。

この60通りの中には

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

が含まれています。
この6つは「3人を選ぶ」だけのときは、同じものとみなします。(並べ方は関係ないからです)。
つまり、6回重複して数えて、60通りだったのですから、
60 ÷ 6 = 10 で組合せが求まります。

答え 10通り  となります。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと
場合の数基礎 基礎例題 95C3=5×4×3/3×2×1となります。

組み合わせ公式の確認

異なるn個のものからr個選ぶ事を組合せといい、その総数は

spi場合の数基礎 nCr=nPr/r!
※r!=r×(r-1)×(r-2)×・・・×3×2×1・・・この分母が重複の数ですね!

別解 組合せの重要公式

nCr=nCn-r

5人からそうじ当番を3人選ぶと、自動的に2人が選ばれないことになります。
つまり、このそうじをしなくてもよい2人を選べば、そうじ当番3人も決まるのです。
よって、5人からそうじをしなくてもよい2人を選べばよいので
5C2=5×4/2×1=10(通り)

答え 10通りとなります。

5-3 なのです。

基礎例題⑩

黒石6個と、白石4個を1列に並べます。並べ方は全部で何通りありますか。

解答と解説

解答と解説

210通り

並べるという言葉で、一見順列のようだが・・・実は組合せなんですね。
理屈をしっかり理解・暗記しましょう。

黒石と白石の並べ方の1例をかいてみます。
場合の数基礎 黒石と白石の並べ方の1例

白石を1,5,7,8に 置きました。
つまり、4個の白石を置く場所を1~10の中から4つ選んだのです。これは組合せですね。
場合の数基礎 10C4=10×9×8×7/4×3×2×1=210(通り)

答え210通りとなります。

※黒石6つを置く場所を選ぶならば、10 ですね。
もちろん、1010 です。

余事象

基礎例題⑪

大小2つのさいころをふり、出た目の積が偶数になる目の出方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

27通り

場合の数基礎 基礎問題11
上で示した通り、4パターンの場合分けがあります。
積が偶数になる3パターンがそれぞれ何通りずつあるのかを求めて足すことで答えがでます。しかし目の出方は全部で、6×6=36通りあり、そこから積が奇数になる場合の数を引いた方が楽ですね。

このように、求めたい事象ではない方を余事象といいます。

大小どちらも奇数の目が出るのは、
3×3=9(通り)なので、36-9=27(通り)

答え27通りです。

基礎例題⑫

男子3人・女子5人の中から委員を3人選ぶ。
少なくとも1人男子を選ぶ選び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

46通り

少なくとも1人男子とは、

  • 【男 女 女】
  • 【男 男 女】
  • 【男 男 男】

のどれかです。3パターンの場合分けが必要ですね。
「少なくとも1人男子」の余事象は何になるでしょうか。
答えは「1人も男子がいない=全員女子」です。

「全事象」から、「全員女子」を引いて求めたほうが速いです。

全場合の数は、8人から3人選ぶ場合の数なので、
場合の数基礎 基礎例題12 8C3=8×7×6/3×2×1=56(通り)

全員女子の場合の数は、女子5人の中から3人を選ぶ選び方なので
場合の基礎 基礎例題12 5C3=5C2=5×4/2×1=10(通り)
よって、56-10=46(通り)です。

以上で場合の数の基礎はばっちりです!!

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→ 基礎編①はこちら

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