公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【場合の数】問題7

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問題

A~Gの7人を、3人、2人、2人の3グループに分ける分け方は何通りあるか。

  1. 70通り
  2. 105通り
  3. 140通り
  4. 175通り
  5. 210通り

想定問題


解答と解説

解答


解説

選択肢5の210通り、で間違う人が多発する問題です。
以下、なぜ間違いなのかを解説します。

まず、どのように考えると210通りになるのかを再確認します。

7人から3人を選ぶC=35(通り)

残った4人から2人を選ぶ、C=6(通り)
残りの2人が自動的に2人グループになる。

35×6=210(通り)

申し分ない解き方ですが、一か所だけ落とし穴があります。
残った4人を2人ずつのグループに分ける分け方が6通りという箇所です。

実際に見てみましょう。
残った4人が、ABCDだとします。
この4人から2人を選ぶ組み合わせは、C=6(通り)
で間違いないですが・・・

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数  問題7 図1

お気づきでしょうか。
①のグループ分けと⑥のグループ分けが同じです。
同様に②と③、④と⑤が同じグループ分けです。

つまり、4人を2人ずつのグループに分ける分け方は3通りです。
4人から掃除当番を2人選ぶなら6通りです。
グループに区別があるのか、ないのか、で分けかたの総数が異なります。
区別がないのならば、区別がある場合を重複の数で割ります。

よって、7人から3人を選ぶC=35(通り)
残った4人を2人ずつのグループに分ける分け方は÷2=3通りずつ、
全部で35×3=105(通り)
となります。

類題演習

A~Gの7人を、1人、2人、2人、2人の4グループに分ける分け方は何通りあるか。

想定問題


解答と解説

解答

105通り

解説

まず、7人から1人を選ぶのが7通り。
ここまでは問題なしです。

つぎに、6人を2人ずつの3グループに分けるのが何通りなのか考えます。

残った6人から2人を選ぶのがC=15通り
さらに残った4人から2人を選ぶのがC=6通り
全部で15×6=90(通り)
となりますが・・・もちろんまだ続きがあります。

いま計算した90通りは、
バラ組の2人、
ひまわり組の2人
たんぽぽ組の2人
のように、グループに区別がある場合です。
本来は、まったくグループに区別がないので、重複して数えている回数で割ります。
重複回数は3×2×1=6(回)なので、
90÷6=15
6人を2人ずつの3グループに分けるのは15通りです。

よって、7×15=105通りです。

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数  問題7 図2


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