公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【確率】問題10

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問題

中が見えない袋に赤玉2個と白玉1個が入っている。袋から玉を一つ取り出し、それが白玉ならば勝ち、赤玉ならば袋を戻して次の者にかわるというゲームを、A、B、Cの3人がAから始めてこの順番で勝負がつくまで繰り返すとする。このとき、Cが勝者になる確率はいくらか。

  1. 2/9
  2. 5/18
  3. 1/3
  4. 4/19
  5. 5/19

国税 2004


解答と解説

解答


解説

Cが勝つケースは、無限にあることがわかりますか?
いつまでもいつまでも勝負がつかないことが起こりうるからです。
大相撲の巴戦(3人による優勝決定戦)に似ている状況です。
※巴戦の確率も有名問題なので、知っておいて損はありません。

Cが勝つパターンとその確率は、以下のようになります。

公務員数的処理KOMAROコマロ 確率 問題10 図1

よって、Cの勝つ確率をSとすると、Sはこれらの確率の和なので以下の式のようになります。
これは等比数列の和と呼ばれるものになっています。

公務員数的処理KOMAROコマロ 確率 問題10 図2

等比数列の和は、無限個であっても計算することができます。
以下のような考え方をします。

公務員数的処理KOMAROコマロ 確率 問題10 図3

これを解いて、S=4/19と求まります。
以下の別解も必ず学習しておきましょう。

別解

Aの勝つ確率はいくらになるでしょうか。
Bの勝つ確率はいくらになるでしょうか。

先ほどCの勝つ確率を求めたときと同様の考え方で求めることができます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 確率 問題10 図4

ところで、A、B、Cの勝つ確率を求める式は、どれも似たような構造になっています。
等比数列の和を求めるときと同じ考え方で、
Aの勝つ確率の2/3倍が Bの勝つ確率、
Bの勝つ確率の2/3倍が Cの勝つ確率、
になっていることがわかります。

つまり、
Aの勝つ確率をPとすると、
Bの勝つ確率は2/3×P
Cの勝つ確率は2/3×2/3×P=4/9×P
となります。

3人のうち、いずれかが勝つので、この確率の和は1になります。
よって、
P + 2/3×P + 4/9×P =1
より、P=9/19・・・Aの勝つ確率
これより、
Bの勝つ確率は6/19
Cの勝つ確率は4/19
と求まります。

式で厳密に考察をしてきましたが、端的にこの問題をとらえると
はじめにAは2/3の確率ではずれを引きます。
このときBは、はじめのAと同じ条件に立てます。
つまり、Bは2/3の確率でAと同じになるのです。
Cも同様で、2/3×2/3の確率でAと同じになるのです。
これが、先の解き方で出てきた式の意味するところになります。
P + 2/3×P + 4/9×P =1
※PはAの勝つ確率


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