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【確率】問題9

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問題

9枚のカードがあり、互いに異なる1~9の数字が一つずつ書かれている。この9枚のカードから無作為に3枚選び、それらを一列に並べて3桁の整数を作ったとき、その整数が3の倍数になる確率はいくらか。

  1. 2/7
  2. 1/3
  3. 5/14
  4. 8/21
  5. 11/28

想定問題


解答と解説

解答


解説

直感的には1/3になりそうですが
そうではないのです。
整数は
3の倍数
3の倍数+1
3の倍数+2
の3種類です。どの3つも同じ条件である気がしますが・・・

さて、解いていきましょう。
解くためには数の性質の基礎知識が必要です。

3の倍数 ⇔ 各位の和が3の倍数
例えば741
741=3×247 で3の倍数ですが、
各位の和、7+4+1=12
この12も3の倍数です。

この性質を用いて考察します。

百の位、十の位、一の位の3つの数の和が3の倍数になるのは、
以下の4つの場合となります。
①3の倍数を3つ足すとき
②(3の倍数+1)を3つ足すとき
③(3の倍数+2)を3つ足すとき
④(3の倍数)+(3の倍数+1)+(3の倍数+2)のとき

カードに書かれた数字を、3で割ったときの余りで分類すると、
1.余り1  1、4、7
2.余り2  2、5、8
3.余り0  3、6、9

さて、ここから先は2通りの解法をお見せします。

解法1.個数を数える

①3の倍数を3つ足すとき

3,6,9のカードの並べかえで、3×2×1=6(通り)
②、③も同様に6通りずつあります。

④(3の倍数)+(3の倍数+1)+(3の倍数+2)のとき

各分類から、何のカードを引くかで、3×3×3=27(通り)
それぞれカードの並べかえで、3×2×1=6(通り)あるので、
27×6=162(通り)

以上より、6×3+162=180(通り)

カードを3枚選び、3桁の整数を作るのは全部で
9×8×7=504(通り)
より、180/504 = 5/14 と求まります。

解法2.確率の積で求める

さきほどカードを分類しました。
それぞれA、B、Cグループとします。
選んだ3枚の組み合わせが
(AAA)か(BBB)か(CCC)か(ABC)になれば、3けたの整数は3の倍数です。

まず1枚選び、それを百の位の数とします。
はじめに何を選んでもかまいません。

2,3枚目ですが、

①2枚目、3枚目ともにはじめと同じグループから選ばれる

2/8 × 1/7= 1/28
です。

②2枚目にはじめと違うグループのカード、3枚目にまだ選ばれていないグループのカードが選ばれる

6/8 × 3/7=9/28

以上より、
1/28 + 9/28 = 5/14 と求まります。

参考

   
それぞの確率です。  
3の倍数    10/28   
3の倍数+1  9/28 
3の倍数+2  9/28 
       







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