公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【場合の数 対応】問題3

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問題

正方形を21個使って、図1のような図形を作ります。次に、たとえば、図2のア、イのように、正方形の辺を使って長方形(正方形を含みます)を作ります。長方形は何個できるか。  

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題3 図

  1. 90個
  2. 108個
  3. 126個
  4. 135個
  5. 144個

想定問題


解答と解説

解答


解説

どのように数えれば場合分けや作業量を減らせるか。なかなか難しい問題です。

様々な数え上げ方がありますが、一例を示します。
長方形の4つの頂点のうち、右上と左下の点が決まれば、長方形は一つに定まります。
下図1で、黒点を右上の頂点とする長方形の数は6つです(単純に数えます)。
このように、各点に、その点を右上の頂点とする長方形の数、を書き込んでいきます。
0=ゼロは省略します。

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題3 図

図2に書き込まれた数をすべて足せば答えです(縦一列の和が三角数、あるいは三角数の倍数になっていて、それ程面倒な計算ではないですね)。
答えは126通りです。

別解

衝撃的な別解を紹介します。衝撃としかいいようがありません。こんな解き方は普通は思い浮かびません。読後の爽快感を保障します。

問題の図を下図のように拡張します。9個の〇から4つを選びます。選んだ後、上から2つの〇からは下に線を引き、下の2つの〇からは左に線を引きます。これで4本の線に囲まれた長方形が1つできます。
つくられる長方形の個数は、異なる9個の点から4つを選ぶ組み合わせの総数と一致し、
C=126 と求まります。

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題3 図


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