公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【場合の数 対応】問題4

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問題

下の図は1辺が4cmの正六角形を、1辺が1㎝の正三角形に分割したものです。この図の中に正六角形は全部で何個ありますか。    

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題4 図1

  1. 60通り
  2. 64通り
  3. 68通り
  4. 72通り
  5. 76通り

想定問題


解答と解説

解答


解説

まずは真っ当に解いてみましょう。
例えば、1辺が3cm の正六角形は何個あるか数えてみます。
1つの正六角形に対して、1つ中心点が対応するので、中心点に着目した方がすっきり数えられます。
7個ありますね。
公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題4 図2

同様に、1辺が4cmの正六角形、1辺が2cmの正六角形、1辺が1cmの正六角形も数えます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題4 図3

以上より、1+7+19+37=64(個)が求める答えとなります。

1辺の2cmの正六角形が19個、1辺の1cmの正六角形が37個、どちらも数えるのが結構たいへんですね。この解法をふまえて、衝撃的な別解を紹介します。とてもおもしろい知的興奮が味わえると思います。

別解

本問は定番問題ですが、以下の衝撃的な別解はあまり知られていないようです。
枠の正六角形の1辺が4cmのときに、答えが、64=4の3乗 となったわけですが、

もしかして・・・・
1辺がNcmのときに、答えが、Nの3乗 となるのではないか
と予想されます。
実際にこの予想が成り立ちそうであることは、すぐに調べられますが、
では、なぜ成り立つのか。なぜ3乗になるのか。
腕に覚えのある方はぜひ考えてみてください。

以下、衝撃的な別解を紹介します。

3乗なので、何やら立方体と関連付られそうな予感がしませんか。
改めて下図をよく見てください。立方体に見えてきませんか?

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題4 図4

左図の赤丸の数は、4×4×4=64(個)のうちの見えている部分とみなせます。見えていない部分は、3×3×3=27(個)の立方体なので、64-27=37(個)となります。実際に数えた値と一致しますね。

これが、1+7+19+37=64=4の3乗 となった理由です。

公務員数的処理KOMAROコマロ 場合の数 対応 問題4 図5


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