公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【速さ 基礎】①

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基礎例題1

Aは朝8時に家を出発した。家から公園までは分速50mで歩き、公園から駅までは分速60mで歩いたところ、8時16分に駅に着いた。家から駅までの道のりは900mである。家から公園までの道のりは何mか。 


解答と解説

解答

300m

解説

速さの公式は覚えていますね?

速さ×時間=距離

です。
この式を変形することで、他の2つの式になります。
式変形をする手間を惜しまなければ、3公式を無理に覚える必要はありません。

速さの基本的な問題は、この公式で方程式をたてて解けば解決できます。

解法1 方程式

求めるものをXとおくのが常套手段ですね。
注 それ以外のものをXと置いた方が楽に解ける場合もあります。

家から公園までの距離をX(m)とすると、

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 速さ 基礎問題1 図1

なので、時間(=距離÷速さ)について立式すると、
X/50 + 900-X/60 =16
これを解いて、
X=300  求まりました。

解法2 方程式 未知数を時間にすると

家から公園まで歩いた時間をX(分)とし、距離(=速さ×時間)で立式すると、

50X + 60(16-X) =900
これを解いて、
X=6
よって、50×6=300
と求まりました。

こちらの方が計算が楽でしょうか。
解法1と大差ない気もします。
お好みでどうぞ。

基礎例題2

P地点からQ地点に向かって、AとBはバイクで、Cは歩いて同時にP地点を出発した。AはQ地点に着いてBを降ろすとただちに引き返し、歩いてきたCと出会うとCを乗せて再びQ地点に向かった。すると、AとCがQ地点に着いたのは、BがQ地点に着いてから48分後のことであった。このとき、PQ間の道のりは何kmか。ただし、バイクの速度は常に時速45km、Cの歩く速度は常に時速5km、人を降ろしたり乗せたりする時間はかからないものとする。


解答と解説

解答

22.5km

解説

なんでもかんでも方程式!というのは上手ではありません。

登場人物の動きが複雑ですから、図で情報を整理してから、計算なり立式をしてきましょう。

1.スタートからBを降ろすまで(このときCがいる場所をR地点とします)
2.バイクが引き返してから、Cに出会うまで(出会った場所をS地点とします)
3.Cを乗せてQ地点に着くまで
この3段階にわけて図示したものが下図です。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 速さ 基礎問題2 図1

この図に、さらに情報を入れていきましょう。
BがQ地点に着いてから、A、CがQ地点に着くまでが48分なので、
QS間をバイクは24分で進んだことがわかります。

よって、バイクが24分で進む距離、歩いて24分で進む距離が計算できます。
バイクで24分 ⇒ 45 × 24/60=18(km)
歩いて24分  ⇒  5 × 24/60=2(km)
よって、RQ間の距離は、18+2=20(km)です。
注 このRQ間の距離は、バイクとCが24分かけてお互いに向かい合って進んだ距離なので、
(45+5)× 24/60=20(km)
として求めることも多いです。旅人算と呼ばれています。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 速さ 基礎問題2 図2

ここから先は、方程式、比、旅人算、いずれでも解けます。

解法1 方程式

PQ間の距離をX(km)とする。
PQ間をバイクで行く時間と、PR間を歩く時間は同じなので、

X/45 = X-20/5
これを解いて、
X=22.5
と求まります。

解法2 比の理用

速さの問題において、比の理用ができると非常に有利です。
PQ間をバイクで行く時間と、PR間を歩く時間は同じなので、
PQ:PR=45:5=9:1
となります。
式で確認すると以下のようになります。
速さ × 時間 =距離
45 × T  =45T(PR)
5  × T  =5T(PQ)

よって、下の図のようになります。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 速さ 基礎問題2 図3

解法3 比の理用 別の視点

バイクとC(歩き)が、スタートから出会うまでを1つの区間として見ると
下図のようになります。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 速さ 基礎問題2 図4

バイクとCが出会うまでに進んだ距離の比は速さの比と等しく、9:1です。
よって青矢印がXkmなら、赤矢印は9Xkm
赤矢印に相当する距離を、青矢印と18kmで表すと

9X=X+18×2
これを解いて、
X=4.5
求める距離は
X+18=22.5(km)
あるいは、
5X=22.5(km)
と求まりました。


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