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【不定方程式】基礎①

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基礎例題1

120円のシュークリームと、280円のチーズケーキを何個か買って、合計4480円であった。
シュークリームを買った個数として考えらえるものは何通りあるか。 


解答と解説

解答

5通り

解説

シュークリームを買った個数をX、チーズケーキを買った個数をYとすると

120X + 280Y = 4480

X,Yの2つに未知数に対して式は1つなので、
この方程式の解は無限に存在します。

ただし、X、Yともに正の整数という制限があるので、この文章題の答えは有限個になります。
このような問題を、不定方程式の自然数解といいます。

では解いていきましょう。

120X + 280Y = 4480
このような不定方程式の解は、ずばり

「上手に見つける」

のです。
「あてはめて探す」
といってもいいでしょう。

ただし、闇雲に探しても大変ですから、
上手に見つけましょう。

以下、その見つけ方を詳しく紹介していきます。

まずは、数値を小さくして扱いやすくしましょう。
120X + 280Y = 4480
この式を40で割って、
3X + 7Y =112
とします。
扱う数が小さくなればこの後の計算も楽ですし、カンで解が分かってしまうこともありますね。

さて、不定方程式の解の見つけ方、ですが、
X、Yの係数と、右辺の数に着目します。

今回は、112が7の倍数になっています。
3X + 7Y = 112
112÷7=16
よって、
3×0+7×16 =112
つまり、X、Y=(0,16)が見つかります。

X=0は、文章題の答えとしては不適ですが、この不定方程式の解としてはOKです。
そして、1組解が求まれば、あとは芋づる式に見つかります。

なぜなら、Xを7増やし、Yを3減らすしかないからです。
(3と7の最小公倍数ずつずらすしか適するものがない)

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 不定方程式 基礎問題1 図1

Xを7ずつ増やし、
Yを3ずつ減らします。

このように、不定方程式は解の組が1つ求まれば、他の解は容易に求められます。

この問題の答えは、シュークリームを買った個数(=X)は何通りありうるか、
なので、
X=7,14、21,28,35
5通りです。

基礎例題2

以下の方程式を満たす、自然数X、Yの組はそれぞれ何通りあるか求めよ。
3X+8Y=82


解答と解説

解答

3組

解説

3X+8Y=82
問題1のようにはなっていません。
82は8でも3でも割り切れないからです。

しかし、82と8に公約数があります。
2です。
つまり、8Yも82も、2の倍数(偶数)になっています。
よって、3Xも偶数にならないといけません。

つまり、X=2,4,6・・・と調べていくことで、あてはまる解を見つけることができます。
これで十分とも言えますが、さらに考察をすると、
8Yは4の倍数ですが、82は4の倍数ではありません。
よって、3Xが4の倍数ではいけません。

つまり、X=2,6、10、・・・と調べていくことで、あてはまる解を見つけることができます。
より、X=6、Y=8
を見つけます。
あとは芋づる式です。Xを8ずつ、Yを3ずつずらしていきます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 不定方程式 基礎問題2-1 図1

以上より、X,Y=(6,8)(14、5)(22、2)の3組です。


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