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【不定方程式】問題4

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問題

12個の箱に、1から12までの番号をつけました。ある1箱には1個70gの玉が12個、別の1箱には1個55gの玉が12個、残りの10箱には1個60gの玉が12個ずつ入っています。今、1の箱から1個、2の箱から2個、・・・、12の箱から12個のように、Nの箱からN個の玉を取り出したところ、取り出された玉の重さの合計は4740gになりました。このとき、必ず60gの玉が入っていると言える箱の番号をすべてこたえなさい。

  1. 1,3,5
  2. 1,3,8
  3.  3,5,8
  4.  5,8,12
  5. 1,3,5,12

 想定問題


解答と解説

解答

5

解説

玉の総数は、1+2+3+4+・・・+12=78(個)です。

78個すべてが60gのとき、その重さの合計は、78×60=4680(g)、
実際の4740gよりも、60g軽くなります。
この差は、+10g(70g) と -5g(55g) の合計で作られるので

+10g(70g)がX個、-5g(55g)がY個あるとすると、
10X-5Y=60  12≧X、Y≧1

両辺を5で割って、
2X-Y=12  12≧X、Y≧1
この式を満たすX、Yの組は
(X、Y)=(7,2)、(8,4)、(9,6)、(10、8)、(11、10)

より、必ず60gが入っている箱の番号は、上で求まったX、Yにはない数です。

よって、1,3,5,12 です。


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