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【約数・倍数・素因数分解】基礎②

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基礎例題4


(1)5で割っても6割っても1余る数で、200に最も近い数を求めよ。
(2)5で割ると1余り、7で割ると3余る数で、400に最も近い数を求めよ。
(3)8で割って1余り、7で割って4余る数で、300以下の数は何個あるか求めよ。
(4)3で割って1余り、5で割って2余り、7で割って5余る数のうち2番目に小さい数を求めよ。 


解答と解説

解答

(1)211
(2)416
(3)5個
(4)187

解説

(1)あまり共通タイプ

5で割っても6割っても1余る数とは
5の倍数+1 かつ 6の倍数+1
を満たす数でこれはもちろん
5と6の公倍数+1
となる数です。これは5と6の最小公倍数30を用いて
30の倍数+1
と表せます。
200に最も近いのは、
30×6+1=181
30×7+1=211
のうち、211の方です。

(2)不足共通タイプ

あまり共通でないとき、不足共通かどうかをチェックします。
5で割ると1余る数とは、5の倍数-4と言い換えられます。
同様に
7で割ると3余る数とは、7の倍数-4と言い換えられます。
どちらも4不足していて、不足共通タイプです。
上の2つを両方満たす数とは、5と7の最小公倍数35を用いて
35の倍数-4
と表せます。
400に最も近いのは、
35×12-4=416 です。

(3)共通なしタイプ

あまりも不足も共通でないときは、書き出しで調べます。
〇8で割って1余る数
1、9、17、25、33、・・・

〇7で割って4余る数
4、11、18、25、・・・

いずれの数列にも出現する数、
今回は25がみつかりました。
8で割って1余り、7で割って4余る最小の数は25です。

書き出しは1つ見つかればOKです。
次にいずれの数列にも出現する数をAとすると
A=25+8の倍数 かつ 25+7の倍数
なので、
A=25+56の倍数
と表せます。

よって、25、81、137、193、249、305・・・となるので
25から249までの5個となります。

参考
条件に合う数は、P+56の倍数(Pは56未満の数)となるので、
300÷56=5あまり20
より、5個か4個のいずれかである。

(4)複合タイプ

3つすべてあまり共通、あるいは3つすべて不足共通なら、
(1)や(2)の解法でズバッと解きましょう。
今回は、
3で割って1余り、7で割って5余る
の2つが、不足共通です。
まずはこの2つを満たす数を求めます。
(2)と同様に考えて、3で割って1余り、7で割って5余る数は
21の倍数-2
と表せます。

つまり、21の倍数-2を満たす数の中から、5で割って2余る数を探します。
余りも不足も共通はないので、(3)のように書き出しで探します。

21の倍数-2は以下のようになります。
19、40、61、82、・・・
順に5で割って2余るかどうかを調べます。
82が見つかります。

3で割って1あまり、5で割って2余り、7で割って5余る最小の数は、82です。

以下、3と5と7の最小公倍数105足すごとに条件を満たす数はでてくるので、
2番目に小さい数は
82+105=187
です。

基礎例題5

A,Bは自然数で、1584×A=B×B×B を満たす。最小のBはいくつか。 


解答と解説

解答

132

解説

積を分解していますので、素因数分解がカギになります。
1584を素因数分解しましょう。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 約数・倍数・素因数分解 基礎問題5 図1

基礎例題6


(1)1500の約数の個数はいくつか。
(2)504の約数のうち、偶数の約数の個数は何個か


解答と解説

解答

(1)24個
(2)18個

解説

約数の個数は素因数分解から得られます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 約数・倍数・素因数分解 基礎問題6 図1

この考え方を利用して(2)を解きましょう。
公務員数的処理KOMAROコマロ 数的推理 約数・倍数・素因数分解 基礎問題6 図2


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→ 約数・倍数 問題1 → 約数・倍数 問題一覧

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