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問題
1から100までの整数が1つずつ書かれたカードが100枚あります。この中から4枚のカードを選ぶとき、次のような性質があるように選びます。
4個の整数の中から2つの数をとって、大きい方から小さい方を引き、その差を求めます。どの2つの数でも、その差は必ずもとの4個の整数のどれかになります。
このような4枚のカードの選び方は何通りありますか。
- 20通り
- 25通り
- 40通り
- 50通り
- 100通り
想定問題
解答と解説
解答
2
解説
この性質を満たす4個の数字を大きい順にA、B、C、Dとします。
下図のように適当な長さで線分図に表します。
A-Dは、C-Dや B-Dより大きいため、
A-D=B
あるいは
A-D=A となります。
しかし、A-D=A ならばD=0となり、条件に合いません。
よって、A-D=B となります。
次いで
C-D=D
B-D = C と決まります。
C-D=D からC=2Dとなります。
この結果を用いると、B=3D、A=4D となります。
よって、D=1,2,3、・・・25 の25通りのカードの選び方があります。
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