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【注目問題】 7の倍数

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問題

1から7までの7個の数字のうち、4個の数字を使って4けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいとき、7の倍数は何通り作れますか。

  1. 336通り
  2. 343通り
  3. 350通り
  4. 357通り
  5. 364通り

想定問題


解答と解説

解答


解説

まずは7の倍数でなくてよいので、全部で何通りの整数が作れるのかを求めましょう。
樹形図が規則的に枝分かれしていきます。
よって、7×7×7×7 通りできます。

この樹形図の一部分を考察してみましょう。1の位が1から7の連続する7つの整数ができます。
2531
2532
2533
2534
2535
2536
2537
このように7つの連続する数を1グループとみれば、全部で7×7×7=343 グループあります。

そして、次が核心部分です。
この7つの連続する数の中には必ずただ1つ7の倍数があります。

7で割ったときの余りは0から6の7種類が1つずつになるからです。
2531・・・4
2532・・・5
2533・・・6
2534・・・0  これが7の倍数
2535・・・1
2536・・・2
2537・・・3

343グループのそれぞれに、ただ1つの7の倍数があるので、343個です。


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