公務員試験数的処理とSPI試験非言語分野の分かりやすい解説と問題を公開

【場合の数】基礎編①

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公式

まずは二つの公式を載せます。

順列

異なるn個のものからr個選び、並べる これを【 順列 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・(n-r+1)

組合せ

異なるn個のものからr個選ぶ これを【 組合せ 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nCr=nPr/r!

※r!=r×(r-1)×(r-2)×・・・×3×2×1

ポイント

この公式はもちろん大事ですが、公式丸暗記だけでは問題は解けません。どのようなときにどのように使えばよいのか、を理解・暗記することが最終目標です。

そのためには「全パターンを書き出す」ことからはじまります。

以下のような姿勢で問題に臨みましょう。

  1. 書き出しをすることで問題の全容を把握する
  2. 公式の正しい使い道が見える
  3. 結局は、全部書き出さなくとも、計算で答えがでる

しかし、次のようなパターンもあります。
  1. 書き出しをすることで問題の全容を把握する
  2. 公式が適用できないことがわかる。最後まで書き出しきるのみ

書き出し

基礎例題①

大小2つのさいころを投げます。出た目の和が8になるのは何通りですか。
解答と解説

解答と解説

5通り

『えーと、どっちの公式を使うんですか。』と考えずに、とにかく書き出しましょう。
spi場合の数基礎 例題1書き出し表

以上の5通りです。

重要
小さい順、大きい順、あいうえお順などのように、書き出しの際はルールを決めます。

書き出しきってそれで終わりました。
このようにそもそも公式なんて通用しない問題もあります。まず、これを知っておいてください。

基礎例題②

50円玉、 100円玉、 500円玉がたくさんある。この中から合計1200円になるような硬貨の取り出し方は何通りありますか。ただし、どの硬貨も少なくとも1枚は使うものとします。
解答と解説

解答と解説

7通り

これも書き出しで求めます。順列でも組合せでもありません。
決められた大きさ(1200円)を埋める問題は、まず大きいもの(500円)で埋めます。残りの隙間を小さいもので埋めるのは簡単です。
spi場合の数基礎 例題2表

順列

いよいよ順列の公式が使えるケースがどのような場合なのかを見ていきましょう。
まずは書き出しをすることで公式の仕組みを理解しましょう。

基礎例題③

1,2,3,4,の4枚のカードから2枚をとりだして2桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

12通り

まずは小さい順に書き出してみます。
spi場合の数基礎 例題3表
赤い背景部分はつくれません。同じ数字のカードが2枚ないからです。
よって、12通りになります。

基礎例題④

1,2,3,4,5の5枚のカードから3枚をとりだして3桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

60通り

小さい順に書き出します。
123 124 125 132 134・・・ 何回も百の位の1を書くのは嫌になっちゃいます。以下のような書き方で省略しましょう。木の枝分かれのような図なので、樹形図といいます。
spi場合の数基礎 例題④樹形図
百の位が1のとき、12通りの整数がつくれました。
これはもしかして、百の位が 2 のときも、3 のときも・・・5通りすべてで12通りずつ作れますね!

12×5=60通り 枝分かれする順にかけ算をかくと 5×4×3=60通り


この計算、5×4×3=60 が、冒頭に出て来た順列の公式そのものとなります。

異なるn個のものからr個選び、並べる
spi場合の数基礎 nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・(n-r+1)
本問においては、異なる5個( n )のものから3個( r )選び、並べる。ということですね。

順列の公式は、樹形図を背景にしたものです。
順列の公式は条件付き問題になったとたん、使い方が分からなくなる人が多いです。公式丸暗記では今後対応しきれません。
上記の仕組みをきっちり理解してください!
全場合の数がどんな樹形図になるのか明確なイメージがわけば、どんなかけ算をすればよいのか自明になります。
※ここをきっちりと理解しておけば、確率の理解がスムーズになります。

基礎例題⑤

A、B、C、D、E、Fの6人でリレーをします。走る順序は全部で何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

720通り

樹形図の全体像をイメージしましょう。(実際に書いてみるのもよいです。)規則正しく枝分かれしていきますね。
そのイメージがあれば、計算1発ですね。

6×5×4×3×2×1=720(通り)
答え 720通り

条件つき問題

条件がある場合、そこから決めていくことで効率よく調べきることができます。

基礎例題⑥

0,1,2,3の4枚のカードから3枚をとりだして、3けたの整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

18通り

異なる4枚から3枚を取り出して並べる、まさに順列の問題です。
しかし、【 0 】は、はじめ(百の位)におけない という条件が隠れています。
spi場合数基礎例題⑥ 樹形図
百の位が 2、3 のときも同様に6通りずつあるので、
6×3=18通りとなります

基礎例題⑦

男子2人、女子3人の合わせて5人が一列に並んで写真撮影をする。
両端が男子になる並び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

12通り

男子をA、B・女子をP、Q、Rとします。

男子の並び方は
A○○○B  と B○○○A  の2通りあります。
女子は○○○のところに並べます。

女子の並べ方は
3×2×1=6(通り)※順列ですね

よって、2×6=12(通り)
答えは12通りとなります。

この式【 2×6=12 】ですが、なぜかけ算なのか分からなくなった人はいませんか?
これも、樹形図の枝分かれだからです。A○○○B と B○○○A の2通りにそれぞれ6通りずつ枝分かれがあるからです。
場合の数基礎 例題7

基礎編②にで、最重要事項の組合せを学習しましょう。

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→ 基礎編②はこちら 

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