【仕事算】問題４

解答

解説

シンプルな問題文からは想像できないほど手ごわい問題です。多くの参考書の解説では、特に工夫のない未知数の置き方をした後、力技で方程式の処理をしているようです。

本サイトでは「この問題も仕事算なんだから、他の仕事算と同じような考え方で解きたい」
ということを主眼とした解説を載せます。
その結果、この問題の本質的な解法が見えてきます。

1日の仕事量を

• a／日・・・A
• b／日・・・B
• (a+b)／日・・・A+B

とする。全仕事量を　ab(a+b)P　※計算のしやすいように設定
とすれば、それぞれがこの仕事にかかる日数は下のようにまとめられる。

次に、日数の差について式にします。
２人で行うと、Aだけより12日はやい　⇒　b(a+b)P　－　abP　＝12・・・①
２人で行うと、Bだけより27日はやい　⇒　a(a+b)P　－　abP　＝27・・・②

①の左辺を簡単にして、b^２P=12
②の左辺を簡単にして、a^２P=27
の２式が得られます。

b^２P=12　と　a^２P=27

これの比をとるとPが消えます。
a^２P：b^２P=27：12 　よりaの２乗とｂの２乗の比が27:12=9:4　です。
よって、a:b = 3:2 　です。

これはＡとＢの仕事量の比なので、改めてまとめると下のようになります。
日数は、仕事量の逆比になりますね。

かかった日数の差より、３Y－２Y＝15日　（下の線分図参照）なので、Y＝15、これを用いて
全仕事量が90Xとわかる。

わかったことを改めて下にまとめます。

Aだけだと30日かかることがわかります。

　　　最大公約数で割る　　　　　ルートをとる
27　　　　　　⇒９　　　　　　⇒　　　３
12　　　　　　⇒４　　　　　　⇒　　　２

解答

解説

98分と50分、公約数の２で割って、49と25。ルートをとれば、７と５。これが、AとBの１分あたりの仕事量の比です。

時間の差、２Y＝48分なので、Y＝24分
よって、Aだけで行うと５Y＝120分　です。