【場合の数】基礎編②

解答と解説

順列との違いがわかりますか？
「２人を選ぶ」と、「２人を選んで並べる」の違いです。
この問題で聞かれているのは、「２人を選ぶ」です。

「２人を選ぶ」と、「２人を選んで並べる」の２つですが、より簡単に求められるのは「２人を選んで並べる」順列の方です。
４×３＝12通りですね。
この12通りの中には、

• ＰＱ
• ＱＰ

という２通りが含まれていますが、組合せにおいてはこの２通りは同じものとみなします。
２人を選ぶだけで、並び方は関係がないからです。

同じものを２回数えてしまっているので、
12÷２＝６
６通り　が答えです。

※組合せを求める状況で、条件付き順列を考慮することは一切ないので安心してください。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと

となります。

解答と解説

「３人を選ぶ」と、「３人を選んで並べる」　の違いはもう大丈夫でしょうか。
より簡単に求められる方が、「３つを選んで並べる」ですね（いわゆる順列）。
５×４×３＝60通りです。

この60通りの中には

• ＡＢＣ
• ＡＣＢ
• ＢＡＣ
• ＢＣＡ
• ＣＡＢ
• ＣＢＡ

が含まれています。
この６つは「３人を選ぶ」だけのときは、同じものとみなします。（並べ方は関係ないからです）。
つまり、６回重複して数えて、60通りだったのですから、
60 ÷ ６ ＝ 10　で組合せが求まります。

答え　10通り　　となります。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと
となります。

組み合わせ公式の確認

異なるｎ個のものからｒ個選ぶ事を組合せといい、その総数は

※ｒ！＝ｒ×（ｒ－１）×（ｒ－２）×・・・×３×２×１・・・この分母が重複の数ですね！

別解　組合せの重要公式

５人からそうじ当番を３人選ぶと、自動的に２人が選ばれないことになります。
つまり、このそうじをしなくてもよい２人を選べば、そうじ当番３人も決まるのです。
よって、５人からそうじをしなくてもよい２人を選べばよいので

答え　10通りとなります。

_５Ｃ_３＝_５Ｃ_５－３　なのです。

解答と解説

並べるという言葉で、一見順列のようだが・・・実は組合せなんですね。
理屈をしっかり理解・暗記しましょう。

黒石と白石の並べ方の１例をかいてみます。

白石を１，５，７，８に　置きました。
つまり、４個の白石を置く場所を１～１０の中から４つ選んだのです。これは組合せですね。

答え210通りとなります。

解答と解説

上で示した通り、４パターンの場合分けがあります。
積が偶数になる３パターンがそれぞれ何通りずつあるのかを求めて足すことで答えがでます。しかし目の出方は全部で、６×６＝36通りあり、そこから積が奇数になる場合の数を引いた方が楽ですね。

このように、求めたい事象ではない方を余事象といいます。

大小どちらも奇数の目が出るのは、
３×３＝９（通り）なので、36－９＝27（通り）

答え27通りです。

解答と解説

少なくとも1人男子とは、

• 【男 女 女】
• 【男 男 女】
• 【男 男 男】

のどれかです。３パターンの場合分けが必要ですね。
「少なくとも1人男子」の余事象は何になるでしょうか。
答えは「１人も男子がいない＝全員女子」です。

「全事象」から、「全員女子」を引いて求めたほうが速いです。

全場合の数は、８人から３人選ぶ場合の数なので、

全員女子の場合の数は、女子５人の中から３人を選ぶ選び方なので

よって、56－10＝46（通り）です。