公務員試験数的処理の分かりやすい解説と問題を公開

【注目問題】一筆書き・その2

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問題

長さが1cmのまっすぐな線をいくつか紙にかいて図形をつくります。紙から鉛筆をはなさずに、この図形上にある1点Aから、すべての線をなぞってAに戻ることを考えます。

12本の線でつくった下の図形には、そのうち4本の線を2回、他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る、長さ16cmのなぞり方があります。このとき、2回なぞる4本の線の選び方は何通りあるか。

公務員数的処理KOMAROコマロ 新傾向 注目問題 一筆書き筑駒1

  1. 7通り
  2. 10通り
  3. 12通り
  4. 14通り
  5. 15通り

想定問題 出典 2019年筑波大学附属駒場中学


解答と解説

解答


解説

いわゆる一筆書きの問題です。

まずは、一筆書きの超有名法則の確認からです。

「すべて偶点の図形は一筆書きが可能」
「奇点がある場合は、奇点が2つの図形だけ一筆書きが可能。そのとき、奇点からスタートし、もう1つの奇点でゴールする」

偶点、奇点とは、ある点を通過する道の数による分類で、
道の数が偶数なら、偶点
道の数が奇数なら、奇点

これは超有名知識です。大丈夫でしょうか?

それでは、この知識ありきでこの問題に臨むわけです。

まず与えられた図形の頂点の偶奇を調べます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 新傾向 注目問題 一筆書き筑駒2

そして、2回なぞることが許されています。

つまり、下図における赤い道を2回なぞるとすれば、ここに2本の道があるのと同じことです。

公務員数的処理KOMAROコマロ 新傾向 注目問題 一筆書き筑駒3

この図形の頂点の偶奇を調べます。

公務員数的処理KOMAROコマロ 新傾向 注目問題 一筆書き筑駒4

つまり、2回なぞる道の両端の頂点の偶奇が入れかわります。

よって、2回なぞる4本をうまく選んで、すべての頂点を偶点にすることが目標です。
そして、そのような4本の選び方は何通りあるのか?
このような問題なのです。
※点Aから点Aまでの一筆書きなので、奇点はなし

ここから先は、ていねいに場合分けをして調べていきます。

2回なぞる道を赤い道とすると、以下のようになります。

公務員数的処理KOMAROコマロ 新傾向 注目問題 一筆書き筑駒5

よって、4+2+1=7
より、7通りです。


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