【注目問題】〇×並べの総数

解答

解説

とりあえず一例をかいてみましょう。
×を少なくするのですから、○を多くしたい。
○は２つまで続けられるのだから、

○○×○○×○○×○○×

と書いてみる人がほとんどでしょう。

で・・・他にはどのような並べ方が可能なのか。
左右逆にした、
×○○×○○×○○×○○
もＯＫなことはわかるけど・・・

結構難しいです、この問題。

ここからは、論理的に解いていく必要があります。
以下のようになります。

上の考察からもわかるとおり、×は最も少なくて４つです。
そして、×と×の間に○を入れていきます。
以下の（ア）から（オ）の５か所に、全部で８つの〇をいれていくのです。

（ア）×（イ）×（ウ）×（エ）×（オ）

そのさい、次の２つのルールを守ります。
・１か所に〇は２個まで入れてよい。
・〇を1個入れても良いし、０個でもよい（×は何個並んでもよいので）。

さて、８個の〇の入れ方は全部で何通りあるだろうか。

〇２個を４か所にいれる

〇〇のように２個を、４か所にいれる場合。
※１か所は自動的に０個となる。

例
（〇〇）× (〇〇) × (なし) ×（〇〇）×（〇〇）
つまり、
〇〇×〇〇××〇〇×〇〇

このとき、○を入れない１か所を選べばよい。

つまり、５Ｃ１＝５通り

〇２個を３か所、〇１個を２か所にいれる

〇〇のように２個を、３か所にいれ、
〇のように１個を、２か所にいれる。
例
（〇）× (〇〇) × ( 〇〇 ) ×（〇）×（〇〇）
つまり、
〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇

このとき、（ア）から（オ）の５か所から、〇１個を入れる２か所を選べばよい。
※３か所は自動的に２個となる。
つまり、５Ｃ２＝10通り

以上、あわせて、５＋10＝15
より、15通りです。