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【確率】問題11

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問題

中が見えない袋に〇のかかれたカード1枚と×のかかれたカード1枚が入っている。A、Bの2人が、袋からカードを取り出して、そのカードを袋に戻すという操作をAから始めて順に行う。N回目に取り出されたカードが〇で、次のN+1回目に取り出されたカードが×ならば、N回目に〇のカードを取り出したものが勝ちとなりこの操作は終了となる。このとき、Aが勝者になる確率はいくらか。

  1. \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
  2. \(\displaystyle \frac{4}{7}\)
  3. \(\displaystyle \frac{5}{7}\)
  4. \(\displaystyle \frac{5}{9}\)
  5. \(\displaystyle \frac{6}{11}\)

想定問題


解答と解説

解答


解説

とても難しい問題です。
この問題を解くためは、問題10と似ている、という直感が必要です。
勝負がつかずに、何回も操作が繰り返されていくとき、互いに以前の相手と同じような状況になります。それが繰り返されていく構造です。

では、この着眼点で解きましょう。
勝負がつかずにこの操作を繰り返しているとき、
以下の2つの状況があります。
1.相手が〇を引いた直後にカードをひく
2.相手が×を引いた直後にカードをひく
AもBも、この2つの状況を繰り返していきます。

相手が〇を引いた直後にカードをひくとき、最終的に勝つ確率を \(P\)
相手が×を引いた直後にカードをひくとき、最終的に勝つ確率を \(Q\)
とします。
Aの勝つ確率とBの勝つ確率がそれぞれ \(P\) と \(Q\) でどのように表されるかを考察します。
Aの勝つ確率を \(x\)
Bの勝つ確率を \(y\) とします。

1回目 A

はじめのAは、それ以前の人がひいたカードがなく(〇も×もない)
例外です
ちょっと置いておきましょう。

2回目 B

2回目はBの番です。
1回目にAが○を引いたBが、その後勝つ確率は \(\displaystyle \frac{1}{2}×P\)
1回目にAが×を引いたBが、その後勝つ確率は \(\displaystyle \frac{1}{2}×Q\)
となります。

つまり、Bが勝つ確率 \(y\) は
\(y=\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{2}Q\)・・・①
となります。

3回目 A

3回目はAの番です。
それ以前の2回がどうであったのかは、以下のア、イ、ウ、エの4通りです。

公務員数的処理KOMAROコマロ 数的処理 食塩水 基礎問題3 図1公務員数的処理KOMAROコマロ 数的処理 場合の数・確率 問題11 図1

アの後Aが勝つ確率

Aがこの状況になる確率が\(\displaystyle \frac{1}{4}\)、その後勝つ確率は \(P\)
より、\(\displaystyle \frac{1}{4}×P\)

イの後Aが勝つ確率

すでにAの勝ちが確定です。このようにAが勝つ確率は、\(\displaystyle \frac{1}{4}\) です。

ウの後Aが勝つ確率

Aがこの状況になる確率が\(\displaystyle \frac{1}{4}\)、その後勝つ確率は \(P\)
より\(\displaystyle \frac{1}{4}×P\)

エの後Aが勝つ確率

Aがこの状況になる確率が\(\displaystyle \frac{1}{4}\)、その後勝つ確率は \(Q\)
より、\(\displaystyle \frac{1}{4}×Q\)

Aが勝つ確率 \(x\)

Aが勝つ確率 \(x\) は

\(x=\displaystyle \frac{1}{4}×P+\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{4}×P+\displaystyle \frac{1}{4}×Q\)

\(=\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{4}Q\)・・・②

この操作は、必ずAかBのどちらかが勝者になるので、
\(x+y=1\)
です。
より、①と②を用いて、①+②=1と表せます。

\(y=\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{2}Q\)・・・①

\(x=\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{4}Q\)・・・②

つまり、
\(\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{2}Q+\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{4}Q=1\)

整理すると、
\(4P+3Q=3\)・・・③
となります。
当然ですが、これだけでは解けません。
もう1つ立式できないといけません。

1回目 A

ここで、はじめのAから何か情報が得られないか考えてみましょう。
1回目のAです。
A以前には何のカードも引かれていないわけですが・・・

!!これは!!
2.相手が×を引いた直後 と同条件である!!
と気づきましょう。

自分が○を引こうが、×を引こうが、この時点では勝負が決まらない状態です。
スタート時点も、相手が×を引いた直後も、同条件なのです。

このことに着目して得られるAの勝つ確率 \(x\) は
\(x=Q\)・・・④
です。
②=④なので、
\(Q=\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{2}P+\displaystyle \frac{1}{4}Q\)

これを整理して、
\(3Q=1+2P\)・・・⑤
が得られます。

よって、③と⑤を連立して解きます。

\(4P+3Q=3\)・・・③
\(3Q=1+2P\)・・・⑤
これを解いて
\(P=\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(Q=\displaystyle \frac{5}{9}\)
と求まります。

Aの勝つ確率 \(x\) は \(Q\) と等しいので、\(\displaystyle \frac{5}{9}\)と求まりました。
先に引くAがちょっとだけ有利ですね。


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