【和と差】問題６

問題

2桁の整数が４つある。この４つの数のうち、2つの和と差を全部調べたら、和のうち最大のものは187で、最小のものは137であり、差のうち最大のものは40で、最小のものは10である。
４つの数のうち、小さい方から2番目の数を求めよ。

想定問題

解答と解説

短い問題文ですが、答えに至るまでの道はなかなか険しいです。
問題の条件をフルに使いこなす必要がある難良問です。

この４つの数を小さい順にＡ，Ｂ、Ｃ、Ｄとすると、以下の３式が定まります。
和で最小　A+B＝137
和で最大　C+D＝187
差で最大　D－A＝40

あとは「差の最小が10」をいかに使うかがポイントとなります。
この最小の差は
ＡとＢの差、ＢとＣの差、ＣとＤの差のうちのどれかです。

偶奇に着目して、C－B＝10 と決まります。
ＡとＢの和、ＣとＤの和、どちらも奇数なので、ＡとＢの差、ＣとＤの差のどちらも奇数になります。

ここから先をどうするか。論理で詰め切る訓練をすることも大事ですが、
どんどん手を動かすことの重要性を痛感します。
以下の解説を読む前に、どんどんあてはめで調べてみてください。
その結果気づくということも多いにあるでしょう。

最小の差が10なので、CとDの差が11以上です。
C+D＝187　なので、
D=99、C=88　と定まります。Ａ，Ｂ、Ｃ、Ｄは2桁の数だからです。

これを用いて、B＝78　A＝59　と求まります。