【約数・倍数・素因数分解】基礎①

解答

解説

最大公約数、最小公倍数の求め方の代表は連除法（はしご算）ですね。

Ｐ×Ｑ＝７２なので、
Ｐ×Ｑ×Ｒ＝６４８　より
Ｒ＝９
Ｑは72の約数で９と互いに素なので、
Ｑ＝１、２、４、８　の4通りが考えられます。

解答

解説

135を割ると７余る数とは、下図のｘのような数です。

つまり、135を割ると７余る数とは、１２８の約数で、７より大きい数です。
7以下の数であるとき、あまりは６以下になるからです。

同様に
２３０を割ると６余る数とは、２２４の約数で、６より大きい数です。

以上2つを同時に満たす数は、１２８と２２４の公約数で、７より大きい数になります。
１２８と２２４の公約数は、１２８と２２４の最大公約数３２の約数すべてなので、
３２の約数を書き出します。
１、２、４、８、１６、３２
の6つが３２の約数です。
該当するのは、８、１６、３２の３個になります。

解答

解説

割った数をＰ、あまりをＲとすると
７９÷Ｐ＝ＡあまりＲ・・・（Ａは適当な整数）
と表せます。
この式を変形すると
７９＝ＰＡ＋Ｒ
となります。
これは
Ｐで割ってＲあまる数　⇔　Ｐの倍数＋Ｒ
ということです。しっかりと覚えておきましょう。

同様の表現でそろえると
７９＝Ｐの倍数＋Ｒ・・・①
９３＝Ｐの倍数＋Ｒ・・・②
１２１＝Ｐの倍数＋Ｒ・・・③

ここで各式の差をとります。

③－②より、２８はＰの倍数
②－①より、１４はＰの倍数

つまりＰは２８と１４の公約数です。

より、Ｐは２８と１４の最大公約数である１４の約数です。
１４の約数は、１，２、７、１４の４個。
ただし、１で割ってあまりがでることはないので、
Ｐ＝２，７，１４となります。
求める総和は２＋７＋１４＝２３　となります。

参考
条件成立を自身の手で一度は確かめておきましょう。
２で割ったときのあまりはすべて１
７で割ったときのあまりはすべて２
１４で割ったときのあまりはすべて９