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問題
正方形を21個使って、図１のような図形を作ります。次に、たとえば、図２のア、イのように、正方形の辺を使って長方形（正方形を含みます）を作ります。長方形は何個できるか。
- 90個
- 108個
- 126個
- 135個
- 144個
想定問題
解答と解説
解答
３
解説
どのように数えれば場合分けや作業量を減らせるか。なかなか難しい問題です。
様々な数え上げ方がありますが、一例を示します。
長方形の４つの頂点のうち、右上と左下の点が決まれば、長方形は一つに定まります。
下図１で、黒点を右上の頂点とする長方形の数は６つです（単純に数えます）。
このように、各点に、その点を右上の頂点とする長方形の数、を書き込んでいきます。
０＝ゼロは省略します。
図２に書き込まれた数をすべて足せば答えです（縦一列の和が三角数、あるいは三角数の倍数になっていて、それ程面倒な計算ではないですね）。
答えは126通りです。
別解
衝撃的な別解を紹介します。衝撃としかいいようがありません。こんな解き方は普通は思い浮かびません。読後の爽快感を保障します。
問題の図を下図のように拡張します。９個の〇から４つを選びます。選んだ後、上から２つの〇からは下に線を引き、下の２つの〇からは左に線を引きます。これで4本の線に囲まれた長方形が１つできます。
つくられる長方形の個数は、異なる9個の点から４つを選ぶ組み合わせの総数と一致し、
９C４＝126 と求まります。
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