問題
下の図は１辺が４cmの正六角形を、１辺が１㎝の正三角形に分割したものです。この図の中に正六角形は全部で何個ありますか。
- 60通り
- 64通り
- 68通り
- 72通り
- 76通り
想定問題
解答
解説
まずは真っ当に解いてみましょう。
例えば、１辺が３cm の正六角形は何個あるか数えてみます。
１つの正六角形に対して、１つ中心点が対応するので、中心点に着目した方がすっきり数えられます。
7個ありますね。
同様に、１辺が４ｃｍの正六角形、１辺が２ｃｍの正六角形、１辺が１ｃｍの正六角形も数えます。
以上より、１＋７＋19＋37＝64（個）が求める答えとなります。
１辺の２cmの正六角形が19個、１辺の１cmの正六角形が37個、どちらも数えるのが結構たいへんですね。この解法をふまえて、衝撃的な別解を紹介します。とてもおもしろい知的興奮が味わえると思います。
別解
本問は定番問題ですが、以下の衝撃的な別解はあまり知られていないようです。
枠の正六角形の１辺が４cmのときに、答えが、64＝４の３乗 となったわけですが、
もしかして・・・・
１辺がＮcmのときに、答えが、Ｎの３乗 となるのではないか
と予想されます。
実際にこの予想が成り立ちそうであることは、すぐに調べられますが、
では、なぜ成り立つのか。なぜ３乗になるのか。
腕に覚えのある方はぜひ考えてみてください。
以下、衝撃的な別解を紹介します。
３乗なので、何やら立方体と関連付られそうな予感がしませんか。
改めて下図をよく見てください。立方体に見えてきませんか？
左図の赤丸の数は、４×４×４＝64(個)のうちの見えている部分とみなせます。見えていない部分は、３×３×３＝27(個)の立方体なので、64－27＝37（個）となります。実際に数えた値と一致しますね。
これが、1+7＋19+37=64＝４の３乗 となった理由です。
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