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公式
まずは二つの公式を載せます。
順列
異なるｎ個のものからｒ個選び、並べる これを【 順列 】といいその総数は
組合せ
異なるｎ個のものからｒ個選ぶ これを【 組合せ 】といいその総数は
※ｒ！＝ｒ×（ｒ－１）×（ｒ－２）×・・・×３×２×１
ポイント
この公式はもちろん大事ですが、公式丸暗記だけでは問題は解けません。どのようなときにどのように使えばよいのか、を理解・暗記することが最終目標です。
そのためには「全パターンを書き出す」ことからはじまります。
以下のような姿勢で問題に臨みましょう。
- 書き出しをすることで問題の全容を把握する
- 公式の正しい使い道が見える
- 結局は、全部書き出さなくとも、計算で答えがでる
しかし、次のようなパターンもあります。
- 書き出しをすることで問題の全容を把握する
- 公式が適用できないことがわかる。最後まで書き出しきるのみ
書き出し
基礎例題①
大小２つのさいころを投げます。出た目の和が８になるのは何通りですか。
解答と解説
解答と解説
５通り
『えーと、どっちの公式を使うんですか。』と考えずに、とにかく書き出しましょう。
以上の５通りです。
重要
小さい順、大きい順、あいうえお順などのように、書き出しの際はルールを決めます。
小さい順、大きい順、あいうえお順などのように、書き出しの際はルールを決めます。
書き出しきってそれで終わりました。
このようにそもそも公式なんて通用しない問題もあります。まず、これを知っておいてください。
基礎例題②
50円玉、 100円玉、 500円玉がたくさんある。この中から合計1200円になるような硬貨の取り出し方は何通りありますか。ただし、どの硬貨も少なくとも１枚は使うものとします。
解答と解説
解答と解説
７通り
これも書き出しで求めます。順列でも組合せでもありません。
決められた大きさ（1200円）を埋める問題は、まず大きいもの（500円）で埋めます。残りの隙間を小さいもので埋めるのは簡単です。
順列
いよいよ順列の公式が使えるケースがどのような場合なのかを見ていきましょう。
まずは書き出しをすることで公式の仕組みを理解しましょう。
基礎例題③
1,2,3,4,の4枚のカードから2枚をとりだして２桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説
解答と解説
12通り
まずは小さい順に書き出してみます。
赤い背景部分はつくれません。同じ数字のカードが２枚ないからです。
よって、12通りになります。
基礎例題④
1,2,3,4,５の５枚のカードから３枚をとりだして３桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説
解答と解説
60通り
小さい順に書き出します。
123 124 125 132 134・・・ 何回も百の位の１を書くのは嫌になっちゃいます。以下のような書き方で省略しましょう。木の枝分かれのような図なので、樹形図といいます。
百の位が１のとき、12通りの整数がつくれました。
これはもしかして、百の位が ２ のときも、３ のときも・・・5通りすべてで12通りずつ作れますね！
これはもしかして、百の位が ２ のときも、３ のときも・・・5通りすべてで12通りずつ作れますね！
12×５＝60通り 枝分かれする順にかけ算をかくと ５×４×３＝60通り
この計算、５×４×３＝60 が、冒頭に出て来た順列の公式そのものとなります。
異なるｎ個のものからｒ個選び、並べる
本問においては、異なる５個（ n ）のものから３個（ r ）選び、並べる。ということですね。
順列の公式は、樹形図を背景にしたものです。
順列の公式は条件付き問題になったとたん、使い方が分からなくなる人が多いです。公式丸暗記では今後対応しきれません。
上記の仕組みをきっちり理解してください！
全場合の数がどんな樹形図になるのか明確なイメージがわけば、どんなかけ算をすればよいのか自明になります。
※ここをきっちりと理解しておけば、確率の理解がスムーズになります。
順列の公式は条件付き問題になったとたん、使い方が分からなくなる人が多いです。公式丸暗記では今後対応しきれません。
上記の仕組みをきっちり理解してください！
全場合の数がどんな樹形図になるのか明確なイメージがわけば、どんなかけ算をすればよいのか自明になります。
※ここをきっちりと理解しておけば、確率の理解がスムーズになります。
基礎例題⑤
A、B、C、D、E、Fの6人でリレーをします。走る順序は全部で何通りありますか。
解答と解説
解答と解説
720通り
樹形図の全体像をイメージしましょう。（実際に書いてみるのもよいです。）規則正しく枝分かれしていきますね。
そのイメージがあれば、計算１発ですね。
６×５×４×３×２×１＝720（通り）
答え 720通り
条件つき問題
条件がある場合、そこから決めていくことで効率よく調べきることができます。
基礎例題⑥
０,1,2,3の４枚のカードから３枚をとりだして、３けたの整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説
解答と解説
18通り
異なる４枚から3枚を取り出して並べる、まさに順列の問題です。
しかし、【 0 】は、はじめ(百の位)におけない という条件が隠れています。
百の位が ２、３ のときも同様に６通りずつあるので、
６×３＝18通りとなります
基礎例題⑦
男子2人、女子3人の合わせて５人が一列に並んで写真撮影をする。
両端が男子になる並び方は何通りありますか。
両端が男子になる並び方は何通りありますか。
解答と解説
解答と解説
12通り
男子をＡ、Ｂ・女子をＰ、Ｑ、Ｒとします。
男子の並び方は
Ａ○○○Ｂ と Ｂ○○○Ａ の２通りあります。
女子は○○○のところに並べます。
女子の並べ方は
３×２×１＝６（通り）※順列ですね
よって、２×６＝12（通り）
答えは12通りとなります。
この式【 2×6=12 】ですが、なぜかけ算なのか分からなくなった人はいませんか？
これも、樹形図の枝分かれだからです。Ａ○○○Ｂ と Ｂ○○○Ａ の２通りにそれぞれ6通りずつ枝分かれがあるからです。
基礎編②にで、最重要事項の組合せを学習しましょう。
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