【確率】問題９

解答

解説

直感的には１／３になりそうですが
そうではないのです。
整数は
３の倍数
３の倍数＋１
３の倍数＋２
の３種類です。どの３つも同じ条件である気がしますが・・・

さて、解いていきましょう。
解くためには数の性質の基礎知識が必要です。

３の倍数　⇔　各位の和が３の倍数
例えば741
741＝３×247　で３の倍数ですが、
各位の和、７＋４＋１＝１２
この１２も３の倍数です。

この性質を用いて考察します。

百の位、十の位、一の位の３つの数の和が３の倍数になるのは、
以下の４つの場合となります。
①３の倍数を３つ足すとき
②（３の倍数＋１）を３つ足すとき
③（３の倍数＋２）を３つ足すとき
④（３の倍数）＋（３の倍数＋１）＋（３の倍数＋２）のとき

カードに書かれた数字を、３で割ったときの余りで分類すると、
１．余り１　　１、４、７
２．余り２　　２、５、８
３．余り０　　３、６、９

さて、ここから先は2通りの解法をお見せします。

解法１．個数を数える

①３の倍数を３つ足すとき

３，６，９のカードの並べかえで、３×２×１＝６（通り）
②、③も同様に６通りずつあります。

④（３の倍数）＋（３の倍数＋１）＋（３の倍数＋２）のとき

各分類から、何のカードを引くかで、３×３×３＝27（通り）
それぞれカードの並べかえで、３×２×１＝６（通り）あるので、
27×６＝162（通り）

以上より、６×３＋162＝180（通り）

カードを３枚選び、3桁の整数を作るのは全部で
９×８×７＝504（通り）
より、180／504　＝　５／１４　と求まります。

解法２．確率の積で求める

さきほどカードを分類しました。
それぞれＡ、Ｂ、Ｃグループとします。
選んだ３枚の組み合わせが
（ＡＡＡ）か（ＢＢＢ）か（ＣＣＣ）か（ＡＢＣ）になれば、３けたの整数は3の倍数です。

まず１枚選び、それを百の位の数とします。
はじめに何を選んでもかまいません。

２，３枚目ですが、

①２枚目、３枚目ともにはじめと同じグループから選ばれる

２／８　×　１／７＝　１／２８
です。

②2枚目にはじめと違うグループのカード、３枚目にまだ選ばれていないグループのカードが選ばれる

６／８　×　３／７＝９／２８

以上より、
１／２８ ＋ ９／２８ ＝ ５／１４　と求まります。

参考

　　　
それぞの確率です。　　
３の倍数　　　　10／２８　　　
３の倍数＋１　　９／２８　
３の倍数＋２　　９／２８