【場合の数　対応】問題７

解答

解説

計算一発の方法が分からなくとも、地道に場合分けして解き切れるようにしておきましょう。

４つの整数の和が６になる組合せは
（６，０，０，０）
（５，１，０，０）
（４，２，０，０）
（４，１，１，０）
（３，３，０，０）
（３，２，１，０）
（３，１，１，１）
（２，２，２，０）
（２，２，１，１）　　の９組です。

それぞれの組合せで、４桁の整数が何個つくれるか順に求めます。０は千の位にはおけないことに注意します。
例えば、（５，１，０，０）からは、5100、5010、5001、1500、1050、1005　の６個が作れます。

（６，０，０，０）　１個
（５，１，０，０）　６個
（４，２，０，０）　６個
（４，１，１，０）　９個
（３，３，０，０）　３個
（３，２，１，０）　１８個
（３，１，１，１）　４個
（２，２，２，０）　３個
（２，２，１，１）　６個
全部を足して、56個　です。

上の作業は結構大変ですね。
４つの数の和が６になればよいのですから、逆に言えば６を４つの数に分割すればよいので・・・
もっと楽に解く方法を考えてみてください。

別解

４けたの整数をABCDとすると
A + B + C＋D =６　　ただし　　A≧１　B≧０　C≧０　D≧０
ここで　A－1＝A´　とすると

A´+ B + C+ D =５　　　　ただし　A´≧０　B≧０　C≧０　D≧０

これで４つの文字がすべて同じ条件になったので
ズバッと計算一発で解けます。

この問題は言い換えれば
〇５個と仕切りの棒３本　の並べ方の総数は何通りか
といえます。

例えば　　　　　　　　   　   A´BCD　　　　 　ABCD
〇｜〇〇｜｜〇〇　　　→　1202　　　→　　2202
｜｜〇〇〇〇〇｜　　　→　0050 　　 →　　1050
などです。

〇５個と仕切りの棒３本　の並べ方の総数は前にやった通りです。
_８C_３＝56（通り）　　　　よって56個