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基礎例題３
ＰＱ間を結ぶ一本道を、Ｐ地点からはＡが、Ｑ地点からはＢが互いに向かいあって同時に出発したところＰＱ間の５分の３地点で２人はすれ違った。その後ＡがＱ地点に着き、その６分後にＢがＰ地点に着いた。２人がすれ違ったのは出発から何分何秒後か求めなさい。
解答
解説
方程式ではなくて、比を活用する問題です。
AとBは同時に出発して、ＰＱ間の５分の３地点ですれ違いました。
当然のことですがこの間、２人が歩いた時間は同じです。
AとBが同じ時間に歩く距離の比は３：２です。
これは別の言い方をすると、AとBの速さの比が３：２である、になります。
式で確認すると以下のようになります。
速さ × 時間 ＝ 距離
Aの速さ × １ ＝ ３
Bの速さ × １ ＝ ２
AとBの速さの比が３：２であることがわかります。
この２人が、PQ間という同じ距離をすすむと、かかる時間はどうなるのか。
同じ距離というのは１：１ということです。
速さ × 時間 ＝ 距離
Ａ ３ × ？ ＝ １
Ｂ ２ × ？ ＝ １
上の２つの積が等しいということは、
時間の比は２：３になります。
これを速さの比と時間の比が逆比になる、といいます。
速さ × 時間 ＝ 距離
Ａ ３ × ② ＝ １
Ｂ ２ × ③ ＝ １
２：３で、その差が６分なので
Aは12分
Bは18分
かけてPQ間を進んだことがわかります。
次にAに着目します。
Aは１２分でＰＱ間を歩いたので、ＰＱ間の５分の３地点まで進む時間は
１２×３／５＝７．２（分）＝７分12秒です。
これはもちろんＢに着目しても求まります。
Ｂは１８分でＱＰ間を歩いたので、ＱＰ間の５分の２地点まで進む時間は
１８×２／５＝７．２（分）＝７分12秒です。
基礎例題４
ＡはＰ地点からＱ地へ時速３ｋｍで歩き、Ｑ地点で３分休憩した後、時速４ｋｍでＰ地点へ向かって引き返した。Ｂは、ＡがＰ地点を出発した15分後にＱ地点を出発し、Ｐ地点へ向かって時速４ｋｍで歩いた。そしてＰ地点に到着後、ただちに時速５ｋｍでＱ地点へ向かって引き返した。ＡとＢがはじめてすれ違った地点をＲ、２回目にすれ違った地点をＳとするとき、ＲＳ間の道のりは何ｋｍか求めよ。ただし、ＰＱ間の道のりは６ｋｍとする。
解答
解説
登場人物の動きがかなり複雑です。
このようなときはダイヤグラムでまとめると楽に解けることが多いです。
注 ダイヤグラムは非常に強力な道具なので様々な問題で利用、練習してみることをおススメします。
それぞれにかかった時間は以下のようになります。
Ａ 往路 ６÷３＝２時間＝120分
Ａ 復路 ６÷４＝１．５時間＝90分
Ｂ 往路 ６÷４＝１．５時間＝90分
Ｂ 復路 ６÷５＝１．２時間＝72分
これらをダイヤグラムにまとめると以下のようになります。
ダイヤグラムにおいて、交点は図形の問題として処理が可能です。
以下の色をつけた部分がそれぞれ相似になっています。
左の水色の三角形は、相似比が１０５：１０５＝１：１
よって、Ｒ地点はＰＱ間を１：１に割った場所、中間地点です。つまりＰ地点から３ｋｍです。
右のピンク色の三角形は、相似比が５４：１０８＝１：２
よって、Ｓ地点はＰＱ間を１：２に割った場所。つまりＰ地点から４ｋｍです。
以上よりＲＳ間の距離は、１ｋｍと求まりました。
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