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問題３
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆをそれぞれ０でない１桁の数とします。これらを並べて６桁の数「ＡＢＣＤＥＦ」を作ります。並んでいる６個の数を区切って、３桁の数「ＡＢＣ」と「ＤＥＦ」を作り、これらを足すと999でした。また、２つずつに区切って、２桁の数「ＡＢ」と「ＣＤ」と「ＥＦ」を作り、これらを全部足すと99になりました。
このような６桁の数「ＡＢＣＤＥＦ」は全部で何個ありますか。
- 15個
- 18個
- 21個
- 24個
- 27個
想定問題
解答
解説
どこから手をつけたら良いのか難しい問題です。とにかく探っていくしかないでしょう。
与えらた２つの条件式の各位の和について考察します。
B＋D＋F＝９、A＋C＋E＝９ ならば、A,B,C,D,E,Fの和は18・・・①
B＋D＋F＝19、A＋C＋E＝8 ならば、A,B,C,D,E,Fの和は27・・・②
次の条件を見てみましょう。
すべての位で繰り上がりがないとき、A,B,C,D,E,Fの和は27で最小となる。
これと①②より、②のときしか条件を満たさないことがわかります。
改めてまとめると、
B＋D＋F＝19
A＋C＋E＝8
C+F= B+ E=A+D = 9
これを満たすA,B,C,D,E,Fが全部で何通りあるかを求める問題です。
とりあえずいろいろあてはめて探していくうちに、ポイントにたどり着くのではないでしょうか。
A＋C＋E＝8 を満たすＡ，Ｃ，Ｅはいろいろありますが、例えば１例として、
Ａ＝１、Ｃ＝２、Ｅ＝５とします。
すると、C+F= B+ E=A+D = 9 の条件式から
Ｄ＝８、Ｆ＝７、Ｂ＝４が一意に定まります。
これはB＋D＋F＝19 の条件式も自動的に満たします。
つまり、A＋C＋E＝8 を満たすＡ，Ｃ，Ｅが決まれば、すべて決まります。
これは〇8個が並んでいるとき、その〇と〇の間に｜を２ついれる入れ方と同数なので、
７C2 ＝ 21個 です。
A C E
〇 ｜〇 〇 ｜〇 〇 〇 〇 〇
最後の計算の意味がわからない人は、
【場合の数・対応５】を読んでください。
場合の数・対応５
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