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問題
７cm離れた２点A、Bに長さ12cmの糸の両端を固定し、鉛筆でピンと張った状態で線をかいたところ、図の㋐のような曲線がかけました。さらに、図のように、２点A、Bを中心とする等しい半径の半円㋑、㋒をかきました。曲線㋐の上を点P、曲線㋑の上を点Q、曲線㋒の上を点Rが動きます。PQとPRの長さの和がもっとも大きくなったとき、その長さの和は何cmか。
- １５cm
- １６cm
- １７cm
- １８cm
- １９cm
想定問題
解答と解説
解答
３
解説
下図のように、鉛筆が曲線アの左端にある状態を考える。
１２ｃｍの糸を赤色で示しています。
半円イの半径が、（１２－７）÷２＝2.5（ｃｍ）とわかります。
もちろん半円ウの半径も2.5ｃｍです。
次に点Ｐ、Ｑ、Ｒが下図にような位置にあるとします。
このとき三角形の３辺の長さの関係から、
ＰＱ＜ＰＡ＋ＡＱ
ＰＲ＜ＰＢ＋ＢＲ
となっていることが分かります（黒は、赤＋青より短い）。
点Ｐを固定して、点Ｑを動かしてみれば
ＰＡ＋ＡＱの長さは、ＰＡＱが一直線上になったときに最大となります。
同様に、点Ｐを固定して、点Ｒを動かしてみれば
ＰＢ＋ＢＲの長さは、ＰＢＲが一直線上になったときに最大となります。
より、PQとPRの長さの和を最大にするためには、
ＰＡＱが一直線上かつ、ＰＢＲが一直線上になったときとわかります。
では次に点ＰがどこにあればPQとPRの長さの和が最大になるか考察します。
下図で考えます。
点Ｐを曲線ア上のどこに動かしても、PQとPRの長さの和は、青い半径２つ分と、赤い糸の長さの和であることがわかります。
つまり、点Ｐはどこにあっても、PQとPRの長さの和は一定です。
より、
PQとPRの長さの和を最大にするためには、
ＰＡＱが一直線上かつ、ＰＢＲが一直線上になったときであり、点Ｐはどこにあってもよい。
そしてPQとPRの長さの和の最大値は、2.5×２＋12＝17（ｃｍ）となります。
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